线性代数漫谈(四):有限维线性空间的基和维数

May 13, 2018 at 2:17 pm

在上一篇中,我们引入了线性相关性的概念,并在最后给出了连结“线性相关性”和“张成子空间的向量数量”的定理4.3和定理4.5。在本篇中,我们将从这两个定理出发,引入线性空间维数和基的概念,用来衡量线性空间的“大小”。

有限维线性空间的基和维数

如果线性空间V(F)的两个子集B_1 = \{\alpha_1,...,\alpha_n\}B_2 = \{\beta_1,...,\beta_m\}都能扩张成V(F),则由\beta_j \in V(F) = L(\alpha_1,...,\alpha_n), j = 1,...,m以及定理4.5,即得m \leq n,再由\alpha_i \in V(F) = L(\beta_1,...,\beta_n), i = 1,...,n又得到n \leq m,从而有m = n,这就是说,线性空间V(F)如果能被其两个线性无关的有限子集张成,则它们所含向量个数相同。如此,我们可以给出下面的定义。

定义5.1 有限维线性空间的维数(dimension)
如果线性空间V(F)的有限子集B = \{\alpha_1,...,\alpha_n\}线性无关,且L(B) = V,则称BV的一组基(basis),并称nV的维数(dimension)(或说Vn维线性空间),记作dim V = n

如果L(S) = V,且SV的有限子集,则S中最大的线性无关向量的个数就是能张成V的最少的向量的个数,也就是V的维数。

例5.1 R^3(R^n)的维数是3(n),所以称它为3维(n维)向量空间,其中的向量也称为3维(n维)向量。它的基\{e_1,e_2,e_3\}(\{e_1,e_2,...,e_n\})叫做自然基。

例5.2 R[x]_3是3维线性空间,B_1 = {1,x,x^2}B_2 = {1+x,1-x,x+x^2}都是R[x]_3的基。R[x]_nn维线性空间,B = \{1,x,x^2,...,x^{n-1}\}是它的一组基,也叫自然基。

例5.3 线性空间的零子空间\{\textbf{0}\}的维数为零,因为其中没有线性无关的向量。

n维线性空间V = L(B)中,任一向量都可唯一地表示为基B = \{\alpha_1,...,\alpha_n\}的线性组合。由定理4.5的等价命题可知,在n维线性空间V中,任何n+1个向量\eta_1,\eta_2,...,\eta_{n+1}都是线性相关的(因为它们都可由基B线性表示)。于是由定理4.3又可知,n维线性空间V中的任何n个线性无关的向量组成的子集B* = {\beta_1,...,\beta_n}都是V的基(因为\forall \alpha \in V(F)\alpha,\beta_1,...,\beta_n是线性相关的,因此\alpha可由B*线性表示),故V = L(B*)。这表明,有限维线性空间的基并不唯一,但任一组基所含的向量的个数是唯一确定的。

下面讨论V的子空间的基与V的基的关系。

定理5.1 如果Wn维线性空间V的一个子空间,则W的基可以扩充为V的基(即W的基可以添加V中若干向量成为V的基)。

证明 事实上定理4.4已经为我们构造了一组符合要求的基。这里我们再给出另一种证法。
W的基B_1 = \{\alpha_1,...,\alpha_m\},如果m = n,则B_1就是V的基。如果m < n,则必然存在\alpha_{m+1} \in V使得\{\alpha_1,...,\alpha_m,\alpha_{m+1}\}线性无关,否则V中的所有向量均可以由\{\alpha_1,...,\alpha_m\}线性表示,则dim V = m < n,与假设矛盾。如果m + 1 = n,则定理得证,如果m + 1 < n,则继续上述步骤,必存在\alpha_{m+2},...,\alpha_n \in V,使得\{\alpha_1,...,\alpha_m,\alpha_{m+1},...,\alpha_n\}线性无关,这就是V的基。

如果n维空间V(F)的有限子集S = \{\alpha_1,...,\alpha_n\}中的n个向量线性相关,那么V的子空间L(S) \ne V,为了确定它的维数和基,我们给出下面的定义。

定义5.2S是线性空间V(F)的有限子集,如果S中存在线性无关的向量组B = \{\alpha_1,...,\alpha_r\},且S中每个向量均可由B线性表示,则B中向量的个数叫做S的秩[1](rank),记作rank(S) = r

注意我们之所以可以定义“秩”,得益于定理4.5的等价命题,如果存在定义中的向量组B,定理保证了任何一个大于r的向量都是线性相关的,从而不存在满足条件但向量个数不为r的向量组。
如果S是有限维线性空间V(F)的子空间,那么S的秩就是S的维数。
rank(S)L(S)的定义以及定理4.5可得以下结论:

定理5.2
(1)rank(S) = r,则S中任何r+1个向量都线性相关。因此S中任何线性无关的向量组至多含r个向量,并把含r个线性无关向量的向量组称为S的极大线性无关组(Maximal Linearly Independent set)。
(2)如果rank(S) = r,B = \{\alpha_1,...,\alpha_r\}S的极大线性无关组,则L(S) = L(B),即dim L(S) = rank(S)
(3)如果S,TV(F)的两个有限子集,且S中的每个向量可由T线性表示,则rank(S) \leq rank(T)
(4)如果S,TV(F)的两个有限子集,则L(S) = L(T)的充分必要条件是:S中的每个向量可由T线性表示,且T中的每个向量可由S线性表示(此时也称ST是等价向量组)

证明
(1)使用定理4.5的等价命题即可证明。
(2)由于B可以线性表示S中的所有向量,显然有L(S) \subset L(B),而B本身又是S的子集,所以L(B) \subset L(S),故dim L(S) = dim L(B) = rank(S)
(3)由于S中的每个向量可由T线性表示,而由极大线性无关组的定义,S可以由T的极大线性无关组B_T = \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_{rank(T)}\}线性表示;则S的极大线性无关组B_S= \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{rank(S)}\}可以由B_T线性表示。由定理4.5可得rank(S) \leq rank(T)
(4)充分性可以使用类似(2)的证明过程得到。必要性是显然的,由扩张的定义即可得到。

本篇讨论了线性空间的维数,这使得我们可以体会到1维空间、2维空间和3维空间之间到底区别在哪。至此,我们已经初步了解了线性空间的基本性质,对线性空间有了一个大致的概念。在下一篇中,我们引入向量的坐标,以简化线性空间中向量的表示,并在此基础上引入内积空间,从而可以对我们的向量进行度量。注意,在没有定义内积之前,我们线性空间的向量实际上是没有长度、角度这样的概念的。

[1] 从英文的rank一词实际上更容易理解,在日语中它称为“階数”,它类似于“阶级”的概念,向量组的秩越大,它的阶级就越高,所谓的阶级,指的是它能张成的空间的维数更大。中文的“秩”在古代有表示阶级的意思,这个词的选用也可能出自于此。对于“秩”,在后面讨论线性映射和矩阵时,会有更深的理解。