线性代数漫谈(六):欧式空间的单位正交基

May 24, 2018 at 9:56 am

由于欧式空间的向量具有几何度量性,因此,在欧氏空间中常用有度量性质的基。

单位正交基

定义7.1B = \{{\epsilon}_1,{\epsilon}_2,...,{\epsilon}_n\}n维欧式空间V(R)的一个子集,如果
f(x)=\begin{cases} 1, i = j,\\ 0, i \ne j,\end{cases} i,j = 1,2,...,n
则称BV的单位正交基(或称标准正交基,orthonormal basis)。

由定义可知,所谓单位正交基就是每个基向量都是单位长,而且基向量两两正交。例如,在R^n中,自然基B = \{e_1,e_2,...,e_n\}关于标准内积是单位正交基。需要注意的是,在一般的欧式空间中,我们首先需要证明单位正交基存在。

定理7.1 欧式空间V(R)恒有单位正交基。
证明 设B = \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}n维欧氏空间V(R)的一组基,我们采用下面的做法(施密特正交化方法,Schmidt orthogonalization, or Gram–Schmidt process),由B构造出V(R)的一组单位正交基。令
\beta_1 = \alpha_1
\beta_2 = \alpha_2 + \lambda_{12}\beta_1
由于\beta_1,\alpha_2线性无关,所以\beta_2 \ne \textbf{0},为使\beta_2,\beta_1正交,即
(\beta_2,\beta_1) = (\alpha_2 + \lambda_{12}\beta_1, \beta_1) = (\alpha_2,\beta_1) + \lambda_{12}(\beta_1,\beta_1) = 0
可取
\lambda_{12} = -\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}
按照这个步骤,如果已经求出两两正交的非零向量\beta_1,\beta_2,...,\beta_{m-1},再令
\beta_m = \alpha_m + \lambda_{m-1,m}\beta_{m-1} + ... + \lambda_{2m}\beta_2 + \lambda_{1m}\beta_1(记为1式)
为使\beta_m\beta_k(k = 1,2,...,m-1)正交,即
(\beta_m, \beta_k) = (\alpha_m,\beta_k) + \lambda_{km}(\beta_k,\beta_k) = 0
可取
\lambda_{km} = -\frac{(\alpha_m,\beta_k)}{(\beta_k,\beta_k)},k = 1,2,...,m-1,(记为2式)
由于\beta_k \in L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k),k=1,2,...,m-1,所以1式中\beta_m \ne \textbf{0},否则\alpha_m \in L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{m-1}),这与\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性无关矛盾。
按照数学归纳法原理,用上述方法就可以由基B构造出1式2式所示的两两正交的非零向量组\beta_1,\beta_2,...,\beta_n,即
\beta_1 = \alpha_1
\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
...
\beta_n = \alpha_n - \frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1} - ... - \frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 - \frac{(\alpha_n,beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
再将它们单位化,即
\epsilon_m = \frac{\beta_m}{|\beta_m|}, m=1,2,...,n
如此即得到V(R)的单位正交基B* = \{\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n\}

第一部分总结

从第零篇到第六篇一共七篇内容,我们初步学习了线性代数的研究对象,“线性空间”。
在第零篇,我们从集合论出发,回顾了一些基础概念,包括映射、运算,这些概念在讨论线性代数的概念时非常重要。使用这些概念,我们在第一篇介绍了抽象代数的一些基本研究对象群、环和域,并最终给出线性空间的定义。
从第二篇开始,我们着手学习线性空间的性质,第二篇着重介绍了线性空间中线性运算的基本性质,并引入了子空间和扩张的概念;第三篇是线性空间的重点内容,在这里我们引入了线性空间中向量的线性相关性和相关性质。在此基础上,第四篇我们构建了向量空间中基、维数等概念,对向量空间的“大小”有了一个量上的描述。第五篇我们在基的基础上引入了向量坐标的概念,提供了线性空间向量的更简洁的表示;后面的部分我们又引入了可以度量长度、夹角的内积空间,它可以理解为线性空间的一个拓展或者或应用。
通过这些内容,我们已经描述了线性代数的研究对象“线性空间”的初步特征,接下来我们将进入第二部分,再下一篇中,我们将开始介绍“线性映射”,然后我们便可以从线性映射的角度思考矩阵的数学意义。