线性代数漫谈(二):线性空间的基本性质

May 4, 2018 at 12:13 am

随着两篇铺垫的结束,在上一篇的最后,我们引入了线性空间的定义。但是为什么要这样定义线性空间?这样的定义实际上抽象出了哪些性质?本篇将介绍线性空间的基本性质,以对线性空间有个初步的了解。

线性空间的基本性质

在讲线性空间的基本性质之前,我们首先通过一些示例,来了解它。

例1 全体空间向量和全体n元实向量分别组成的集合R^3R^n = \{(a_1,a_2,...,a_n)|a_1,a_2,...,a_n\in R\}对向量的加法和数乘运算都构成实数域上的线性空间。实际上,线性空间可以理解为是对几何向量的一种抽象,这也是它也称为向量空间的原因。但实际上,具有线性性质的并不止几何向量一种。

例2 系数属于域F的全体多项式的集合,以及次数小于n额全体多项式同零多项式一起组成的集合,它们对多项式的加法和数乘多项式运算在数域F上都构成线性空间。因为:它们关于两种运算封闭;它们对加法构成交换群;数乘多项式显然满足定义中的4条性质。但是,数域F上的多项式集合\{p(x)|p(x)=a_0 + a_{1}x+...+a_{n}x^n,a_n\ne 0\}对同样的运算不构成线性空间,因为集合对加法不封闭。

例3 定义在区间[a,b]上的全体实值函数,对通常的函数加法和实数与函数的乘法,在实数域R上构成一个线性空间。其零元是零函数\theta(x),\forall x \in [a,b], \theta(x) = 0,每个函数f(x)的逆元是-f(x)

例4 实数集R在实数域R上对实数的加法和实数与实数的乘法,构成实数域R上的一个线性空间。但是,实数集R在复数域C上,对实数的加法和复数与实数的乘法不构成复数域C上的线性空间,因为复数与实数的乘积一般不属于实数集R,即R对数乘不封闭。而复数集C在实数域上和复数域上,对相应的加法和数乘运算分别构成实空间和复空间。

定义3.1 减法
在线性空间V(F)中,我们定义减法为:\alpha - \beta = \alpha + (-\beta),其中(-\beta)是加法的逆元,也称为负元。

性质3.1
(1)线性空间作为交换群,它的零元是唯一的,每一个元的负元是唯一的;
(2)数乘运算的分配律对元素的减法和数量的减法也都成立,即\forall \alpha,\beta \in V, \lambda,\mu \in F, \lambda(\alpha - \beta) = \lambda\alpha - \lambda\beta, (\lambda - \mu)\alpha = \lambda\alpha - \mu\alpha
证明:
(2)\lambda(\alpha - \beta) + \lambda\beta = \lambda(\alpha - \beta + \beta) = \lambda\alpha,两边同加上-\lambda\beta即得;另一组分配律同理可证。

性质3.2
\alpha = \beta, \alpha = 0代入性质3.1(2)的第一个分配律,可得\lambda \textbf{0} = \textbf{0}, \lambda(-\beta) = -(\lambda\beta),将\lambda = \mu, \lambda = 0代入第二个分配律,可得0\alpha = \textbf{0},(-\mu)\alpha = -\mu\alpha,特别地当\mu = 1时,(-1)\alpha = -\alpha

性质3.3
\lambda\alpha = \textbf{0},则\lambda = 0\alpha = \textbf{0}
证明:若\lambda \ne 0\textbf{0} = \lambda^{-1}\textbf{0} = \lambda^{-1}(\lambda \alpha) =(\lambda^{-1}\lambda)\alpha = \alpha。注意性质3.3的证明利用了线性空间定义中数量乘法性质1和2。

线性空间的研究对象是向量,下面我们引入线性组合的定义,以更好地理解线性空间中这些向量是如何进行运算的。

定义3.2 线性组合(linear combination)
V(F)是一个线性空间,\alpha_i \in V,\lambda_i \in F(i = 1,2,...,m),则向量
\alpha = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + ... + \lambda_m\alpha_m
称为向量组{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m}在域F上的线性组合,或者说\alpha在域F上可以用向量组{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m}线性表示。

例5R^3,任一向量\alpha = (a_1,a_2,a_3)可由基本向量组e_1 = (1,0,0),e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)线性表示,即\alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3。从例5实际上可以看出线性空间的一个性质,线性空间中的所有向量可以由几个向量的线性组合得到,后面我们会系统地研究这个性质。下面我们再看一个例子。

例6 证明:在R[x]_3 = \{a + bx + cx^2|a,b,c \in R\}中任一个多项式p(x)都可以唯一地表示为p_1(x) = 1+x,p_2(x)=1-x,p_3(x)=x+x^2的线性组合。
证明:设p(x) = a ? bx + cx^2,令,p(x) = \lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x),得到
\lambda_1 + \lambda_2 = a,\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 = b,\lambda_3 = c。这个3元一次方程组有唯一解\lambda_1 = (a+b-c)/2, \lambda_2 = (a-b+c)/2, \lambda_3 = c,故p(x)可以唯一地表示为p_1(x),p_2(x),p_3(x)的线性组合,即
p(x) = \frac{(a+b-c)}{2}p_1(x)+\frac{(a-b+c)}{2}p_2(x)+cp_3(x)

线性子空间

在例5和例6中我们看到,线性空间中的任一向量可以由几个向量的线性组合得到,为了研究如何如需的向量的数量,以及如何找到这样的向量组,我们首先给出线性子空间的定义,试图研究线性空间的“大小”和所需向量数量之间的关系。

在线性空间V(F)中,V的子集W关于V(F)中的线性运算可能封闭,也可能不封闭,例如R^3的下列子集:
W_1 = \{(x_1,x_2,x_3|x_1 - x_2 + 5x_3 = 0\}
W_2 = \{(x_1,x_2,x_3|x_1 - x_2 + 5x_3 = 1\}
它们分别是由起点在原点,终点在平面x_1 - x_2 + 5x_3 = 0x_1 - x_2 + 5x_3 = 1上的全体向量组成的两个子集。容易验证,W_1关于向量的加法和数乘是封闭的,而W_2不封闭。
由于W_1关于R^3的线性运算是封闭的,所以W_1关于R^3的线性运算也构成一个线性空间,并称之为R^3的子空间,而W_2关于R^3的线性运算不封闭,不能构成线性空间。下面给出一般的定义。

定义3.3 线性子空间(linear subspace,简称子空间,subspace)
W是线性空间V(F)的非空子集,如果WV中的运算也构成域F上的线性空间,则称WV的线性子空间(简称子空间)。

定理3.1 判别定理 线性空间V(F)的非空子集WV的子空间的充分必要条件是WV(F)上的线性运算封闭
证明 必要性是显然的,否则W关于V中的运算都不构成线性空间。下面证明充分性。由于WV是子集,所以线性空间定义的性质2是满足的,只需证明<W:+>是交换群。其中结合律、交换律是满足的,需要证明零元(加法的单位元)\textbf{0} \in W而且每个向量对应的负元也在。对于任一\alpha \in W,取域F上的0和-1,即得0 \alpha = \textbf{0}, (-1)\alpha = -(1\alpha) = -\alpha,故WV(F)的线性子空间。

例7 在线性空间V中,仅含零元的子集\{\textbf{0}\}V的一个子空间,叫做零子空间;V本身也是V的一个子空间,它们称为V的平凡子空间,V的其它子空间称为非平凡子空间。

例8 R[x]_3R[x]的一个子空间,R[x]_2 = \{a_0 + a_1x|a_0,a_1 \in R\}R[x]_3的一个子空间。

定义3.4 线性扩张(linear span)
S是线性空间V(F)的非空子集,我们把S中所有的有限[1]子集(即S中任意k个向量(k=1,2,3,...)组成的子集)在域F上的一切线性组合所组成的V(F)的子集合,称为S的线性扩张记作L(S),即
L(S) = \{\lambda_1\alpha_1 + ... + \lambda_k\alpha_k|\lambda_1,...,\lambda_k\in F,\alpha_1,...,\alpha_k \in S,k \in N^*\}

线性扩张实际上研究了如何将一个集合扩展成线性空间。

定理3.2 线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张L(S)V中包含S的最小子空间,这里的最小,指的是所有包含S的子空间必然包含L(S)
证明 L(S)显然包含S。我们首先证明L(S)V的一个子空间。设\alpha,\beta \in S\{\alpha,\beta\}S的一个有限子集,所以\alpha + \beta \in L(S), \forall \lambda \in F, \lambda\alpha \in L(S) 。再证L(S)是包含S的最小子空间。设W是一个包含S的子空间,对于任意的\alpha \in L(S),\alpha = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 +...+ \lambda_m\alpha_m,其中\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m \in S \subset W,所以\alpha \in W,从而L(S) \in W。因此L(S)V中包含S的最小子空间。

由于V的非空子集S的线性扩张L(S)V的一个子空间,所以也称L(S)是由S“张成”的子空间。如果S是有限子集\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\},就称L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)是由向量组\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}“张成”的子空间。
以上讨论了由一部分元素经过一定的运算“扩张”成的线性空间。但更重要的是相反的问题:即对一个线性空间,能否找到在所给运算下“扩张”成这一线性空间的一组元素,当然这种元素越少越好。下面对这个问题给出一般的数学描述。

定义3.5
V(F)称为有限维线性空间(finite linear space),如果V中存在一个有限子集S,使得L(S) = V;否则,称为无穷维线性空间(infinite linear space)。

例9 R^3是一个实数域上的有限维线性空间,因为R^3中存在有限子集S = \{e_1,e_2,e_3\},其中e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1),使得L(S) = R^3。事实上,显然有L(S) \subset R^3,又R^3中任一向量\alpha = (a_1,a_2,a_3) = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 \in L(S),所以R^3 \subset L(S),因此R^3 = L(S)

例10 R[x]_3也是一个实数域上的有限维线性空间,例6已经给出了它的一个有限子集S_1 = \{p_1(x),p_2(x),p_3(x)\},使得L(S_1) = R[x]_3。此外,R[x]_3有更简单的有限子集S = \{1,x,x^2\},也使得L(S) = R[x]_3
同理,R[x]_n也是一个实数域上的有限维线性空间。而全体实系数多项式构成的线性空间R[x]则是实数域上的一个无穷维线性空间,因为它不存在一个有限子集S,使得L(S) = R[x]

实际上,更重要的问题是到底至少要多少个元素构成的有限集才能张成这个空间。R^2,R^3,R^n这几个线性空间虽然同为有限维线性空间,但张成它们所需要的向量个数显然是不同的,按照我们的直觉和常识,它们分别至少需要2,3,n个向量来张成。为了解决这个问题,在下一篇中,我们将引入线性相关的概念。线性相关性是线性空间中的向量的非常重要的性质。

[1]事实上,无限个向量的线性组合如何去定义是一个非常复杂的问题,即便是稍微简单的“无穷多个同一向量的和”如何定义也并不容易。对于这些内容的研究,包括下面紧接着要定义的无穷维线性空间的研究,属于泛函分析学(functional analysis)的范畴;在线性代数中,我们一般只考虑有限维的场景。