线性代数漫谈(三):线性相关性

May 11, 2018 at 12:04 am

线性空间中向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是阐明线性空间理论的一个重要的基本概念。(事实上,我们更加关注“线性无关”这一对立性质)

定义4.1 线性相关(linearly dependent)
V(F)是一个线性空间,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m \in V,如果存在不全为0的\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m \in F,使得\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_m \alpha_m = \textbf{0}成立,则称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m \in V线性相关,否则称为线性无关(linearly independent)。

向量\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m \ge 2)线性相关的等价定义是:若\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m中有一个向量可由其它向量在域F上线性表示,则称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m \ge 2)线性相关。我们把这个等价的定义做为定理来证明。

定理4.1 V(F)中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m \ge 2)线性相关的充分必要条件是\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m中有一个向量可由其它向量在域F上线性表示。
证明 首先证明必要性。根据线性相关的定义,如果\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m \ge 2)线性相关,必然存在\lambda_k \ne 0,使得\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 +...+ \lambda_k \alpha_k +...+ \lambda_m \alpha_m = \textbf{0},两边同加上相应的负元,得到
\lambda_k \alpha_k = -\lambda_1 \alpha_1 - \lambda_2 \alpha_2 -...-\lambda_m \alpha_m
由于\lambda_k \ne 0,存在乘法逆元{\lambda_k}^{-1},使得\alpha_k = {\lambda_k}^{-1}(-\lambda_1 \alpha_1 - \lambda_2 \alpha_2 -...-\lambda_m \alpha_m),由分配律可得右边可以表示为向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m不包含\alpha_k的一个线性组合,必要性得证。
再证充分性。如果存在一个向量\alpha_k可以被不包含\alpha_k的向量组除去\alpha_k后线性表示,则两边加上\alpha_k的负元,即可得\textbf{0} = \alpha_k + \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 +...+ \lambda_{k-1} \alpha_{k-1} +...+ \lambda_{k+1} \alpha_{k+1} + \lambda_m \alpha_m ,其中\alpha_k = 1 \alpha_k,而1不为0,得证。

定理4.1的等价命题
\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m \ge 2)线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

例4.1 n维几何空间R^n的基e_1,e_2,...,e_n是线性无关的,其中e_i = (0,...,0,1,0,...,0)是第i个分量为1,其它分量全为0的向量。因为,由\lambda_1 e_1 + \lambda_1 e_2 +...+\lambda_n e_n = \textbf{0},即(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) = (0,0,...,0),必有\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0

例4.2 线性空间中单个向量\alpha线性相关的充分必要条件是\alpha是零向量。因为\lambda \ne 0时,等式\lambda \alpha成立的充分必要条件是\alpha = \textbf{0}。例4.2解释了我们采用定义4.1而不是定理4.1来定义线性相关的原因。定义4.1可以涵盖单个向量线性相关的定义,而定理4.2并不能,需要增加额外的说明,不够统一。

例4.3 含零向量的任意向量组\{\textbf{0}, \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}均线性相关,因为\exists \lambda \ne 0,使得\lambda \textbf{0} + 0\alpha_1 + 0\alpha_2 +...+0\alpha_m = \textbf{0}

例4.4 上一篇例6中的p_1(x) = 1 + x, p_2(x)=1-x,p_3(x)=x+x^2是线性无关的。因为设\lambda_1(1+x)+\lambda_2(1-x)+\lambda_3(x+x^2) = 0,可以得到(\lambda_1+\lambda_2) + (\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3)x + \lambda_3x^2 = 0,可以解出\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0,故p_1(x),p_2(x),p_3(x)线性无关。

定理4.2 如果向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关,则其任一子集也线性无关;如果向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性相关,则任何包含它的向量组也线性相关。
证明 这个定理证明较为简单,我们仅证前半部分。采用反证法。对于任一子集\beta_1,\beta_2,...,\beta_k,假设存在一个不全为0的数(域F上的元素)使得\lambda_1\beta_1+\beta_2\beta_2+...+\lambda_k\beta_k=0,则取不在这个子集的元素数乘上0,得到一个不全为0的线性组合结果为0向量,和已知矛盾。

定理4.3 若向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关,且\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性相关,则\beta可以由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性表示,且表示法唯一。
证明 \beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性相关,由定义可得存在一组不全为0的数\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n \in F,使得\lambda_0 \beta + \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + ... +\lambda_n\alpha_n = \textbf{0}。如果\lambda_0 = 0,则由于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关,可知\lambda_1 = \lambda_2 =...=\lambda_n = 0,和假设矛盾,故\lambda_0 \ne 0,由定理4.1的证明过程可得,\beta可以由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性表示。为证明唯一性,假设存在两组数b_1,b_2,...,b_nc_1,c_2,...,c_n使得\beta = b_1\alpha_1 + b_2\alpha_2 +...+b_n\alpha_n\beta = c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 +...+c_n\alpha_n,两式相减,得到\textbf{0} = (b_1 - c_1)\alpha_1 + (b_2 - c_2)\alpha_2 + ... + (b_n - c_n)\alpha_n,由于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关,可知b_1-c_1 = b_2-c_2 = ... = b_n - c_n = 0b_1 = c_1, b_2 = c_2,...,b_n = c_n,故表示法唯一。

定理4.4 Steinitz替换引理(Steinitz exchange lemma)
对于V(F)中任意一个线性无关的向量组\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\},如果\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}可以张成V,则
(1)m \leq n
(2)向量组\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta_{m+1},...,\beta_{n}\}也张成V,其中\beta_{i}的顺序可能发生调整(即\beta_{m+1}也可能是原来的\beta_{n})。

证明 我们使用数学归纳法。我们记命题P(m)为“对于所有的k \in \{0,...,m\},有k \leq n且向量组\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k,\beta_{k+1},...,\beta_{n}\}”也张成V,其中\beta_{i}的顺序可能发生调整。
P(0)是显然成立的,0 \leq n,且\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}本就可以张成V。现在我们假设已知对于某个k<mP(k)成立,而\alpha_{k+1} \in V,并且\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k,\beta_{k+1},...,\beta_{n}\}张成V,则\alpha_{k+1}可以线性表示为

\alpha_{k+1} = \sum_{j=1}^{k} \mu_j\alpha_j + \sum_{j=k+1}^{n} \mu_j\beta_j

这要求\{\mu_{k+1},...,\mu_n\}至少有一个不为0,否则和\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}线性无关矛盾,这实际上表明了k + 1 \leq n。由于我们可以调整顺序,不妨调整为\mu_{k+1} \ne 0,有定理4.1的证明过程可得

\beta_{k+1} = {\mu_{k+1}}^{-1}(\alpha_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \mu_j\alpha_j - \sum_{j=k+2}^{n} \mu_j\beta_j)

\beta_{k+1}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{k+1},\beta_{k+2},...,\beta_{n}\}张成的子空间中。显然这个子空间包含由

\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{k},\beta_{k+1},\beta_{k+2},...,\beta_{n}\}张成的V,故就是V。于是P(k+1)成立,定理得证。

Steinitz替换引理是线性代数中非常基础的定理,它给出了能张成一个空间的向量组在线性相关性和数量上的关系。下面我们再给出由它衍生出的两个定理,以便后续的讨论,事实上,直接使用该引理也是可以展开后续的讨论的,不过下面的两个定理更直观一些。

定理4.5 设线性无关的向量组\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}的每个向量均可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示,则s \leq r
证明 不妨记\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r张成的子空间为L,则显然\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}中的每个元素都属于L,故由定理4.4得,s \leq r

定理4.5的等价命题V(F)中向量组\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}的每个向量可由另一个向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示。如果s > r,则\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}线性相关。

本篇我们由线性相关性的定义出发,熟悉线性相关、线性无关的基本性质,最终给出定理4.3和定理4.5,这两个定理是了解线性空间结构的重要定理,接下来,我们将使用这两个定理,对衡量子空间大小的“维度”性质进行讨论。