线性代数漫谈(六):欧式空间的单位正交基

May 24, 2018 at 9:56 am

由于欧式空间的向量具有几何度量性,因此,在欧氏空间中常用有度量性质的基。 单位正交基 定义7.1 设是维欧式空间的一个子集,如果 则称为的单位正交基(或称标准正交基,orthonormal basis)。 由定义可知,所谓单位正交基就是每个基向量都是单位长,而且基向量两两正交。例如,在中,自然基关于标准内积是单位正交基。需要注意的是,在一般的欧式空间中,我们首先需要证明单位正交基存在。 定理7.1 欧式空间恒有单位正交基。 证明 设是维欧氏空间的一组基,我们采用下面的做法(施密特正交化方法,Schmidt orthogonalization, or Gram–Schmidt process),由构造出的一组单位正交基。令 由于线性无关,所以,为使正交,即 可取 按照这个步骤,如果已经求出两两正交的非零向量,再令 (记为1式) 为使与正交,即 […]

线性代数漫谈(五):向量的坐标与内积空间

May 15, 2018 at 9:20 am

在上一篇中,我们引入了线性空间基的概念,基于它,我们可以使用“坐标”来简洁、统一地表示线性空间中的向量。在此之上,我们将一个更强大的功能引入线性空间:内积运算,从而可以度量向量的长度和向量之间的夹角。 向量的坐标 在之前的讨论中,我们并没有讨论基的序的问题,仅将它看作是普通的集合,而在进行坐标的讨论的时候,通常我们需要指定这些这些元素的“序”。(这里的“序”实际上指的是序上的不同,而不是大小,这里我们不引入偏序关系来讨论它。) 定义5.1 有序基(ordered basis) 记维线性空间的所有基构成的集合为,设,我们定义从到的一个映射,使得,(其中括号表示定义1.1所定义的有序对),则对于每一个在下的象为的元素,称为线性空间对于基的一组有序基。 在不会引起歧义的情况下,我们仍将有序基记为,并简称为基。需要注意的是,虽然表示法一致,原来的基是无序的,是的一个子集,而现在它实际上是的一个子集。 定义5.2 向量的坐标(coordinate) 设是维线性空间的一组有序基,如果中元素表示为,则其系数组构成的有序对叫做在有序基下的坐标(coordinate with respect to the basis),记作 由定义可见,中元素的坐标是由所选的基决定的,同一元素在不同的基下一般有不同的坐标。坐标是的一个元素,也称为关于基的坐标向量。 由定理4.3可知,有限维线性空间中每一个元素在给定的基下的坐标是唯一确定的,因此,给定了的一个基,中元素与中的向量一一对应;而且保持元素间的线性运算关系不变,即如果 ,则有 ,记为 […]

线性代数漫谈(四):有限维线性空间的基和维数

May 13, 2018 at 2:17 pm

在上一篇中,我们引入了线性相关性的概念,并在最后给出了连结“线性相关性”和“张成子空间的向量数量”的定理4.3和定理4.5。在本篇中,我们将从这两个定理出发,引入线性空间维数和基的概念,用来衡量线性空间的“大小”。 有限维线性空间的基和维数 如果线性空间的两个子集和都能扩张成,则由以及定理4.5,即得,再由又得到,从而有,这就是说,线性空间如果能被其两个线性无关的有限子集张成,则它们所含向量个数相同。如此,我们可以给出下面的定义。 定义5.1 有限维线性空间的维数(dimension) 如果线性空间的有限子集线性无关,且,则称为的一组基(basis),并称为的维数(dimension)(或说是维线性空间),记作。 如果,且是的有限子集,则中最大的线性无关向量的个数就是能张成的最少的向量的个数,也就是的维数。 例5.1 的维数是,所以称它为3维(维)向量空间,其中的向量也称为3维(维)向量。它的基叫做自然基。 例5.2 是3维线性空间,和都是的基。是维线性空间,是它的一组基,也叫自然基。 例5.3 线性空间的零子空间的维数为零,因为其中没有线性无关的向量。 在维线性空间中,任一向量都可唯一地表示为基的线性组合。由定理4.5的等价命题可知,在维线性空间中,任何个向量都是线性相关的(因为它们都可由基线性表示)。于是由定理4.3又可知,维线性空间中的任何个线性无关的向量组成的子集都是的基(因为,是线性相关的,因此可由线性表示),故。这表明,有限维线性空间的基并不唯一,但任一组基所含的向量的个数是唯一确定的。 下面讨论的子空间的基与的基的关系。 定理5.1 如果是维线性空间的一个子空间,则的基可以扩充为的基(即的基可以添加中若干向量成为的基)。 证明 事实上定理4.4已经为我们构造了一组符合要求的基。这里我们再给出另一种证法。 设的基,如果,则就是的基。如果,则必然存在使得线性无关,否则中的所有向量均可以由线性表示,则,与假设矛盾。如果,则定理得证,如果,则继续上述步骤,必存在,使得线性无关,这就是的基。 […]

线性代数漫谈(三):线性相关性

May 11, 2018 at 12:04 am

线性空间中向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是阐明线性空间理论的一个重要的基本概念。(事实上,我们更加关注“线性无关”这一对立性质) 定义4.1 线性相关(linearly dependent) 设是一个线性空间,,如果存在不全为0的,使得成立,则称线性相关,否则称为线性无关(linearly independent)。 向量线性相关的等价定义是:若中有一个向量可由其它向量在域上线性表示,则称线性相关。我们把这个等价的定义做为定理来证明。 定理4.1 中的向量组线性相关的充分必要条件是中有一个向量可由其它向量在域上线性表示。 证明 首先证明必要性。根据线性相关的定义,如果线性相关,必然存在,使得,两边同加上相应的负元,得到 由于,存在乘法逆元,使得,由分配律可得右边可以表示为向量组不包含的一个线性组合,必要性得证。 再证充分性。如果存在一个向量可以被不包含的向量组除去后线性表示,则两边加上的负元,即可得,其中,而1不为0,得证。 定理4.1的等价命题 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。 例4.1 维几何空间的基是线性无关的,其中是第个分量为1,其它分量全为0的向量。因为,由,即,必有 例4.2 线性空间中单个向量线性相关的充分必要条件是是零向量。因为时,等式成立的充分必要条件是。例4.2解释了我们采用定义4.1而不是定理4.1来定义线性相关的原因。定义4.1可以涵盖单个向量线性相关的定义,而定理4.2并不能,需要增加额外的说明,不够统一。 例4.3 […]

线性代数漫谈(二):线性空间的基本性质

May 4, 2018 at 12:13 am

随着两篇铺垫的结束,在上一篇的最后,我们引入了线性空间的定义。但是为什么要这样定义线性空间?这样的定义实际上抽象出了哪些性质?本篇将介绍线性空间的基本性质,以对线性空间有个初步的了解。 线性空间的基本性质 在讲线性空间的基本性质之前,我们首先通过一些示例,来了解它。 例1 全体空间向量和全体元实向量分别组成的集合和对向量的加法和数乘运算都构成实数域上的线性空间。实际上,线性空间可以理解为是对几何向量的一种抽象,这也是它也称为向量空间的原因。但实际上,具有线性性质的并不止几何向量一种。 例2 系数属于域的全体多项式的集合,以及次数小于额全体多项式同零多项式一起组成的集合,它们对多项式的加法和数乘多项式运算在数域上都构成线性空间。因为:它们关于两种运算封闭;它们对加法构成交换群;数乘多项式显然满足定义中的4条性质。但是,数域上的多项式集合对同样的运算不构成线性空间,因为集合对加法不封闭。 例3 定义在区间上的全体实值函数,对通常的函数加法和实数与函数的乘法,在实数域上构成一个线性空间。其零元是零函数,每个函数的逆元是。 例4 实数集在实数域上对实数的加法和实数与实数的乘法,构成实数域上的一个线性空间。但是,实数集在复数域上,对实数的加法和复数与实数的乘法不构成复数域上的线性空间,因为复数与实数的乘积一般不属于实数集,即对数乘不封闭。而复数集在实数域上和复数域上,对相应的加法和数乘运算分别构成实空间和复空间。 定义3.1 减法 在线性空间中,我们定义减法为:,其中是加法的逆元,也称为负元。 性质3.1 (1)线性空间作为交换群,它的零元是唯一的,每一个元的负元是唯一的; (2)数乘运算的分配律对元素的减法和数量的减法也都成立,即 证明: (2),两边同加上即得;另一组分配律同理可证。 性质3.2 […]