线性代数漫谈(零):映射与运算

April 25, 2018 at 12:56 am

这个系列将会是一个纯数学的系列,不过考虑到线性代数自身概念相对抽象,会尽量多地结合实际的例子。线性代数的应用相当广泛,算是之后将要开展的系列的一个基础工具,数学是基础的基础,追本溯源,还是要先从线性代数开始讲起。

为了使线性代数的相关内容能够形成一个相对完整的体系,我们从最基础的概念讲起,逐步走入线性空间中去。在这之间,作为本系列的第零篇,我们需要首先熟悉映射和运算的概念。

映射与运算

定义1.1 有序对(或称有序二元组、序偶,ordered pair)
我们把非空集合A,B的任一对有次序的元素x \in A, y \in B叫做有序对,记为(x,y)。[1]

定义1.2 笛卡尔积(Cartesian product,或称直积,direct product)
A,B是两个非空集合,我们把集合A\times B = \{(a,b)|a\in A, b\in B\}称为AB的笛卡尔乘积(或称直积)。

定义1.3 映射(mapping, or map)
一个从集合X到集合Y的一个映射\sigma是由一些满足x \in X, y \in Y的有序对(x,y)构成的集合,要求对于每一个x \in A,有且只有一个有序对(x,y)在这个集合中,记作\sigma: X \rightarrow Y。对于在这个集合中的有序对(x,y),称yx\sigma下的象(image),称xy\sigma下的原象(preimage),记作\sigma: x \rightarrow y或者\sigma(x) = y。称X\sigma的定义域(domain),并把X的全体元素在\sigma下的象的集合称为\sigma的值域(range),或称为\sigma的象,记作\sigma(X)Im\sigma(X),即\sigma(X) = \{\sigma(x)|x\in X\}。集合X到它自身的映射,有时也称为X的变换(transformation)。[2]

定义1.4 代数运算(operation)
映射\sigma: V \rightarrow Y,其中V\subset X_1 \times ... \times X_n称为定义在n个集合X_1, ...X_n上,取值在Y上的n元代数运算,n称为代数运算的元数(arity)。特别地,如果X_1 = ... = X_n = Y,那么称这个n元代数运算为Y上的一个n元代数运算,简称为n元运算;更特别地,由于我们接下来讨论的主要是二元代数运算,对于二元代数运算,在不引起混淆的情况下,简称为代数运算。

我们来结合几个例子加深对上述一些定义的理解。

例1 设R是实数集,对于任意的a,b\in R,定义a\circ b = (a,b),则\circ是定义在R上取值于R\times R的一个二元运算,也称它为笛卡尔乘积。

例2 定义在(-\inf,+\inf)上的一元实值函数y=f(x)是实数集R到自身的映射。

例3 对于任意的n\in Z,定义\sigma(n)=2|n|,则\sigma是整数集Z到非负偶数集E的映射。

例4 设A=\{a,b,c\},B=\{1,2,3,4\},定义f: a\rightarrow 1, b\rightarrow 4, c\rightarrow 1g: a\rightarrow 3, b\rightarrow 1,则fAB的映射,但g不是AB的映射,只是A的子集X = \{a,b\}B的映射。

定义1.5 恒等映射(或称单位映射,identity map)
在集合X上,把X中的每个元素都映射为自身的映射I,即\alpha \in X, I(\alpha)=\alpha,称为X上的恒等映射。

定义1.6 单射、满射和双射
\sigmaXY上的一个映射,如果:
(1)对于任意的\alpha_1,\alpha_2\in X,当\alpha_1 \ne \alpha_2时,\sigma(\alpha_1) \ne \sigma(\alpha_2),则称\sigma为单射(或称内射,injection)
(2)对于任意的\beta\in Y,存在\alpha\in X,使得当\sigma(\alpha) = \beta,则称\sigma为满射(surjection)
(3)\sigma既是单射又是满射,则称其为双射(bijection)

容易证明,在前面的例子中,例3是一个满射而不是单射;例4的f既不是一个单射也不是一个满射,g是一个单射而不是一个满射;恒等映射是一个双射。

定义1.7 映射相等
如果\sigma,\tau都是X\rightarrow Y的映射,且对于任意的\alpha \in X,有\sigma(\alpha) = \tau(\alpha),则称\sigma = \tau

定义1.7 映射乘积
\sigma,\tau分别是AB上和BC上的映射,我们规定其乘积为(\tau\sigma)(\alpha) = \tau(\sigma(\alpha)),\alpha \in A。显然,\tau\sigmaAC上的映射。
对于集合XY上的任一个映射\sigma,显然有I_Y\sigma=\sigma I_X = \sigma,其中I_X,I_Y分别是X,Y上的恒等映射。

定理1.1 映射乘法满足结合律,即如果\sigma,\tau,\phi分别是A\rightarrow B,B\rightarrow C,C\rightarrow D的映射,则\sigma(\tau\phi) = (\sigma\tau)\phi
证明 首先,两边都是A\rightarrow D的映射,而且对于任意的\alpha \in A,有
[\sigma(\tau\phi)](\alpha) = \sigma[(\tau\phi)(\alpha)] = \sigma[\tau(\phi(\alpha))] = (\sigma\tau)(\phi(\alpha))=[(\sigma\tau)\phi](\alpha)
但映射乘法不满足交换律,例如,f(x)=sin x, g(x) = 1+x,则f(g(x)) = sin(1+x),g(f(x))=1+sin x,显然两者不相等。

定义1.8 可逆映射和逆映射
\sigma是集合XY上的一个映射,如果存在集合YX上的一个映射\tau,使得\tau\sigma=I_X, \sigma\tau=I_Y同时成立,则称\sigma是可逆映射,简称\sigma可逆(invertible),并称\tau\sigma的逆映射(inverse map),记作\sigma^{-1} = \tau。定义中两者的地位是相同的,此时也说\tau可逆,且\tau^{-1} = \sigma

定理1.2 逆映射的唯一性,即如果映射是可逆的,则其逆映射是唯一的。
证明 假设\sigma是集合XY上的一个可逆映射,存在两个逆映射\tau_1,\tau_2,则由定理1.1,有
\tau_2 = \tau_2 I_Y = \tau_2(\sigma\tau_1) = (\tau_2\sigma)\tau_1 = I_X\tau_1 = \tau_1

定理1.3 集合XY上的一个映射\sigma可逆的的充要条件是\sigma为双射。
证明
先证必要性。如果\sigma可逆,则存在唯一的从集合YX逆映射\tau,使得\sigma\tau=I_Y,由恒等映射的定义可知,对于任意的\beta \in Y,有I_Y(\beta) = \sigma(\tau(\beta)) = \beta,其中\tau(\beta) \in X\sigma满足满射定义。
再则,若\sigma(\alpha_1) = \sigma(\alpha_2),则有\alpha_1 = I_X(\alpha_1) = \tau\sigma(\alpha_1) = \tau\sigma(\alpha_2) = I_X(\alpha_2) = \alpha_2,故\sigma是单射。
再证充分性。由于\sigma为双射,则对于任意的\beta \in Y,存在唯一一个\alpha \in X使得\sigma(\alpha) = \beta;定义\tau为集合YX上的映射,对于任意的\beta \in Y,满足\tau(\beta) = \alpha。则对于任意的\beta \in Y\sigma(\tau(\beta)) = \sigma(\alpha) = \beta\sigma\tau = I_Y。同时对于任意的\alpha \in X,\tau\sigma(\alpha) = \tau(\beta) = \alpha,即\tau\sigma = I_X

例5 设f,g都是Z到自身的映射,且f: n\rightarrow n + 5, g: n\rightarrow n - 5,则(fg)(n)=(gf)(n) = n,即fg,gf都是Z的恒等映射,所以f,g都是可逆的,它们互为逆映射。

定义1.9 完全原象
\sigma是集合XY上的一个映射,BY的一个子集,我们把X的子集A = \{\alpha|\alpha\in X \ and \ \sigma(\alpha)\in B\}称为B\sigma下的完全原象(或逆象),记作\sigma^{-1}(B)。特别的,当B=\{\beta\}时,\sigma^{-1}(\beta)表示\betaX中所有原象的集合。显然,如果\sigma不是满射,则存在\beta \in Y,使得\sigma^{-1}(\beta)为空集;如果\sigma不是单射,则存在\beta \in Y,使得\sigma^{-1}(\beta)至少含有两个元素;如果\sigma是双射,对于任意的\beta \in Y,集合\sigma^{-1}(\beta)都有且只有一个元素。

基础知识的回顾就到这里,下一篇中,我们将从群环域的基本概念开始,衍生到线性空间中去。

[1]需要指出的是,这个定义实际上是“不规范”的,它是一个描述性定义,并没有真正说明“有次序”是个什么概念。但这个概念是一个非常基础的概念,并不影响我们后续的讨论。如果有兴趣,可以查看wiki,其中提供了若干种通过集合论的基础概念定义有序对的方式。
[2]如果将集合A,B和定义在其上的映射看作一个整体(一个数学对象),那么它实际上是一个有序三元组(A,B,G),其中的G对应定义1.3。是否将映射和其定义的集合看作整体不影响后续的讨论,不再多讲。有兴趣的话,可以参考https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mapping