线性代数漫谈(一):一切从线性空间开始

April 27, 2018 at 7:17 am

在上一篇第零篇中,我们从集合论的一些基本概念出发,定义了运算和映射。这一篇将要把概念慢慢特化,讨论线性代数中所涉及的运算和映射。线性代数运作在线性空间之上,按照当代数学的划分,“线性空间”的概念归属于抽象代数(abstract algebra),为此,我们使用抽象代数的基础知识,群、环和域,过度到线性空间中。

群、环和域

代数结构是抽象代数的主要研究对象,群、环和域是最具代表性的几种代数结构。

定义2.1 代数结构(algebraic structures,或称代数系统,algebraic systems)
对于非空集合A,如果在A上面定义了一系列的运算O_1,...,O_n,则称A是一个代数结构,记作<A:O_1,...,O_n>。[1]

定义2.2 群(group),交换群(commutative group,或称阿贝尔群,abelian group,或称加法群),半群,含幺半群
一个定义了(二元)代数运算\cdot的代数结构<G:\cdot>称为群:
(1)运算\cdot满足结合律,即\forall a,b,c \in G,a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c
(2)G关于运算\cdot存在单位元(identity element),即\exists e\in G,使得\forall a \in G, a\cdot e = a, e \cdot a = e
(3)G中每个元素关于\cdot都可逆,即\forall a \in G\exists b \in G,使得a \cdot b = b \cdot a = e(单位元),并称a为可逆元,ba的逆元(inverse element),记作b = a^{-1}
<G:\cdot>是一个群,也可以表述成G关于\circ构成群。
如果<G:\cdot>是一个群,且运算还满足交换律,即\forall a,b \in G, a \cdot b = b \cdot a,则称<G:\cdot>是一个交换群。
如果<G:\cdot>只满足条件(1),则称为半群(semigroup);如果同时满足(1)和(2),则称为含幺半群(monoid)。

例1 设+,\cdot分别是数的加法和乘法,则<N^*:+>,<N^*:\cdot>,<Z:\cdot>都是半群。<Z:+>,<R^+:\cdot>都是交换群。

例2 设R^3是全体空间几何向量组成的集合,则R^3关于向量的加法构成一个交换群,其中单位元e为零向量\textbf{0}任一向量\textbf{a}的逆元为\textbf{-a}

定理2.1 群的单位元、逆元都是唯一的。
证明 记两个单位元e_1,e_2e_1\cdot e_2 = e_1 = e_2\cdot e_1 = e_2,故单位元唯一。
a的两个逆元b_1,b_2b_1\cdot (a\cdot b_2) = b_1 \cdot e = b_1 = (b_1 \cdot a) \cdot b_2 = e\cdot b_2,故逆元唯一。

下面我们来证明几个定理,以加深对群这一概念的理解。

定理2.2 在群G中,消去律成立,即\forall a,b \in G,若ax = ay,则x = y;若xb = yb,则x = y
证明 根据群定义的性质(3),取a的逆元a^{-1},则x = a^{-1}ax = a^{-1}ay = yb同理可证。

定理2.3 \forall a,b \in G,方程ax = bya = b在群G中分别有唯一解x = a^{-1}by = ba^{-1}
证明 x = a^{-1}ax = a^{-1}by同理可证。

定理2.4 (a^{-1})^{-1} = a,{ab}^{-1} = b^{-1}a^{-1}
证明 (a^{-1})^{-1} a^{-1} = e = a(a^{-1}),由消去律可知a = (a^{-1})^{-1} = {ab}^{-1} = {ab}^{-1} (ab)(b^{-1}a^{-1}) = e(b^{-1}a^{-1}) = b^{-1}a^{-1}

定义2.3 环(ring)
代数结构<R:+,\cdot>称为环(其中+一般称作加法,\cdot一般称作乘法),如果
(1)<R:+>是交换群,其单位元记作0
(2)<R:\cdot>是半群;
(3)运算\cdot对于+满足分配律,即\forall a,b,c\in Ra(b+c) = ab + ac,(b+c)a = ba + ca
如果环<R:+,\cdot>中的乘法满足交换律,则称其为交换环;如果环关于乘法存在单位元(乘法单位元e也常记作1),则称之为含幺环。在环中,加法a的逆元通常记为-a

例3 对于数的加法和乘法,代数结构<Z:+,\cdot>,<Q:+,\cdot>,<R:+,\cdot>,<C:+,\cdot>都是含幺交换环。
<Ze:+,\cdot>Ze为偶数集)是交换环,但不是含幺环。

定理2.5
(1)a0 = 0a = 0(0表示加法的单位元)
(2)a(-b) = (-a)b = -(ab)
(3)(-a)(-b) = ab
证明
(1)a0 = a(0 + 0) = a0 + a0,两边同时加上a0的逆元-(a0),得0 = a0;同理可证0a = 0
(2)a(-b + b) = a(-b) + ab = 0,两边同时加上-(ab),得a(-b) = ab,同理可证(-a)b = -(ab)
(3)0 = 0(-b) = (a + (-a))(-b) = -(ab) + (-a)(-b),两边同时加上ab即得(3)。
基于定理2.5性质1,一般也称环中加法的单位元为乘法的零元。

定义2.4 域(field)
代数结构<F:+,\cdot>称为一个域,如果它是至少含有两个元素的交换环,且F \backslash \{0\}关于乘法运算是交换群。
加法的单位元(即零元)和乘法的单位元1总是不同的,否则由定理2.5的(1)可知,所有的元素都是0,不满足至少含有两个元素。任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含有0和1.有理数集Q,实数集R和复数集C对数的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域、实数域和复数域。
交换环中所具有的性质在域中都成立,而且
(1)若a\ne 0, b\ne 0,则ab \ne 0
证明:若ab = 0,由于b\ne存在逆元,a = abb^{-1} = 0,产生矛盾。
(2)乘法满足消去律,即若a \ne 0,ab = ac,则b = c
证明:a^{-1}ab = b = a^{-1}ac = c

线性空间

在本篇的最后,我们终于可以给出线性空间的定义,本篇之后,我们的绝大部分讨论都要集中在线性空间之中。

定义2.5 线性空间(linear space,或称向量空间,vector space)
V是一个非空集合,F是一个域,在VF上定义两种运算:一是V上的(二元)代数运算,称为加法,记作+;而是定义在F\times V上取值于V的一元运算,称为数量乘法(数乘),即F\times V中的每个元素(\lambda,\mathbf{\alpha})\rightarrow \lambda\mathbf{\alpha} \in V,如果:
(1)<V:+>是一个交换群。
(2)数量乘法满足4条性质,即\forall \mathbf{\alpha},\mathbf{\beta} \in V,\forall \lambda,\mu \in F以及域F的乘法单位元1,有

1\mathbf{\alpha} = \mathbf{\alpha}
\lambda(\mu\mathbf{\alpha}) = (\lambda\mu)\mathbf{\alpha}
(\lambda + \mu)\mathbf{\alpha} = \lambda\mathbf{\alpha} + \mu\mathbf{\alpha}
\lambda(\mathbf{\alpha} + \mathbf{\beta}) = \lambda\mathbf{\alpha} + \lambda\mathbf{\beta}

则称V对于上述两种运算在域F上构成一个线性空间,简称V为域F上的线性空间,记作V(F)。如果F是实(复)数域,则称V为实(复)数域上的线性空间,简称实(复)空间。
线性空间也称为向量空间,其元素也称向量。线性空间中的运算称为线性运算。交换群<V:+>的单位元叫做零元,记作0。事实上,向量空间这个词语更容易理解,而且外文教材中使用的更多,它本身就是指包含了一系列向量的一个空间,而线性一词更侧重它的性质,且和线性代数一词相对应,国内使用线性空间较多,后文使用线性空间这一词。

我们终于有了线性空间这一大舞台。在接下来的系列中,我们将始终活跃在其上,揭开它神秘的面纱。下一篇将介绍线性空间的基本性质、线性子空间,对线性空间有个初步的认识。

[1]代数结构的定义实际上还可以包含定义在集合A上的一些关系,包括“大于”、“小于”等。“关系”不属于本文的讨论范围,本文不采用这种定义,有兴趣的话,可以参看https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_system