线性代数漫谈(一):一切从线性空间开始

April 27, 2018 at 7:17 am

在上一篇第零篇中,我们从集合论的一些基本概念出发,定义了运算和映射。这一篇将要把概念慢慢特化,讨论线性代数中所涉及的运算和映射。线性代数运作在线性空间之上,按照当代数学的划分,“线性空间”的概念归属于抽象代数(abstract algebra),为此,我们使用抽象代数的基础知识,群、环和域,过度到线性空间中。 群、环和域 代数结构是抽象代数的主要研究对象,群、环和域是最具代表性的几种代数结构。 定义2.1 代数结构(algebraic structures,或称代数系统,algebraic systems) 对于非空集合,如果在上面定义了一系列的运算,则称是一个代数结构,记作。[1] 定义2.2 群(group),交换群(commutative group,或称阿贝尔群,abelian group,或称加法群),半群,含幺半群 一个定义了(二元)代数运算的代数结构称为群: (1)运算满足结合律,即; (2)关于运算存在单位元(identity element),即,使得 (3)中每个元素关于都可逆,即,,使得(单位元),并称为可逆元,为的逆元(inverse element),记作 是一个群,也可以表述成关于构成群。 […]

线性代数漫谈(零):映射与运算

April 25, 2018 at 12:56 am

这个系列将会是一个纯数学的系列,不过考虑到线性代数自身概念相对抽象,会尽量多地结合实际的例子。线性代数的应用相当广泛,算是之后将要开展的系列的一个基础工具,数学是基础的基础,追本溯源,还是要先从线性代数开始讲起。 为了使线性代数的相关内容能够形成一个相对完整的体系,我们从最基础的概念讲起,逐步走入线性空间中去。在这之间,作为本系列的第零篇,我们需要首先熟悉映射和运算的概念。 映射与运算 定义1.1 有序对(或称有序二元组、序偶,ordered pair) 我们把非空集合的任一对有次序的元素叫做有序对,记为。[1] 定义1.2 笛卡尔积(Cartesian product,或称直积,direct product) 设是两个非空集合,我们把集合称为和的笛卡尔乘积(或称直积)。 定义1.3 映射(mapping, or map) 一个从集合到集合的一个映射是由一些满足的有序对(x,y)构成的集合,要求对于每一个,有且只有一个有序对(x,y)在这个集合中,记作。对于在这个集合中的有序对(x,y),称是在下的象(image),称是在下的原象(preimage),记作或者。称为的定义域(domain),并把的全体元素在下的象的集合称为的值域(range),或称为的象,记作或,即。集合到它自身的映射,有时也称为的变换(transformation)。[2] 定义1.4 代数运算(operation) 映射,其中称为定义在n个集合上,取值在上的n元代数运算,n称为代数运算的元数(arity)。特别地,如果,那么称这个n元代数运算为上的一个n元代数运算,简称为n元运算;更特别地,由于我们接下来讨论的主要是二元代数运算,对于二元代数运算,在不引起混淆的情况下,简称为代数运算。 […]